Sự kỳ diệu của toán học giải tích

Giải tích - còn hơn là một ngôn ngữ

Câu chuyện về Maxwell minh họa cho đề tài mà chúng ta sẽ còn gặp nhiều lần nữa. Người ta thường nói toán học là ngôn ngữ của khoa học. Phần lớn điều đó là sự thật. Trong trường hợp sóng điện từ, bước đi có tính then chốt đầu tiên của Maxwell là biến đổi các định luật được phát minh từ thực nghiệm thành các phương trình viết bằng ngôn ngữ của giải tích.

Tuy nhiên sự tương tự với ngôn ngữ là không đầy đủ. Giải tích, như bất cứ một lĩnh vực nào khác của toán học, là một cái gì đó lớn lao hơn ngôn ngữ rất nhiều; đó cũng là một hệ thống tư duy cực mạnh. Nó cho phép chúng ta biến đổi một phương trình này thành một phương trình khác bằng cách thực hiện những phép tính khác nhau đối với các ký hiệu, tuân theo những quy tắc xác định.

Ảnh minh họa.

Những quy tắc này bắt rễ trong logic, sao cho ngay cả khi tưởng như chỉ đơn giản xáo trộn các ký hiệu, thực tế là chúng ta đã xây dựng một chuỗi dài những suy luận logic. Sự dịch chuyển các ký hiệu đó là những lối tắt hữu ích, một phương pháp thuận tiện để xây dựng các chứng minh, thứ quá phức tạp để lưu giữ trong đầu.

Nếu chúng ta may mắn và đủ khôn khéo – tức là biết biến đổi một cách đúng đắn các phương trình – chúng ta có thể nhận được những hệ quả mới, mà trước đó vẫn còn ẩn giấu. Đối với nhà toán học thì quá trình này dường như là cảm nhận được một cách trực tiếp. Như thể chúng ta đang thao tác các phương trình, xoa bóp chúng, cố gắng làm cho chúng suy nhược tới mức phải tiết lộ những bí mật của mình. Chúng ta muốn chúng phải cởi mở và nói chuyện với chúng ta.

Ở đây đòi hỏi phải có cách tiếp cận sáng tạo, bởi vì thường không rõ chúng ta sẽ phải thực hiện các thao tác nào. Ví dụ, ở trường hợp Maxwell, có vô số phương pháp để biến đổi các phương trình, mà theo quan điểm logic, thì đều có thể chấp nhận được, nhưng chỉ có một số rất ít là cho kết quả khoa học mới và thú vị thôi.

Khi tính đến chuyện ngay cả ông cũng không biết mình tìm kiếm cái gì, thì rất có thể ông sẽ dễ dàng nhận được từ các phương trình của mình chỉ những lời lẩm bẩm vô nghĩa (hay tương đương ký hiệu của nó). Nhưng may thay, các phương trình của ông đã thổ lộ hết những bí mật của mình. Chỉ với một cú đẩy thích hợp, chúng đã cho ra phương trình sóng.

Vào thời điểm đó, chức năng ngôn ngữ của giải tích toán lại nổi hẳn lên. Khi Maxwell phiên dịch các ký hiệu trừu tượng ngược trở lại hiện thực thì chúng đã tiên đoán rằng điện và từ tương tác với nhau tạo nên sóng năng lượng vô hình truyền với tốc độ ánh sáng. Chỉ qua một vài thập niên, phát minh đó đã làm thay đổi thế giới.

Việc giải tích có thể mô hình hóa rất tốt tự nhiên quả thật rất kỳ lạ vì rằng đó là hai địa hạt hoàn toàn khác nhau. Giải tích là vương quốc tưởng tượng của các ký hiệu và logic; trong khi đó tự nhiên là vương quốc hiện thực của các lực và hiện tượng.

Nhưng bằng cách nào đó, nếu phiên dịch được hiện thực thành các ký hiệu một cách đủ khéo léo thì logic của giải tích có thể sử dụng một chân lý của thế giới thực để làm nảy sinh một chân lý khác.

Một chân lý tiến vào, một chân lý đi ra. Hãy bắt đầu từ cái gì đó đúng đắn theo kinh nghiệm và biểu diễn nó thành các ký hiệu (như Maxwell đã làm với định luật về điện và từ), rồi ứng dụng các phép tính logic đúng đắn, bạn sẽ nhận được một chân lý kinh nghiệm khác, có thể là mới, một sự thật chưa từng được biết tới của vũ trụ (giống như sự tồn tại của sóng điện từ chẳng hạn).

Thành thử, giải tích cho phép chúng ta đoán được tương lai và tiên đoán điều chưa biết. Chính điều đó đã làm cho nó là một công cụ mạnh biết dường nào đối với khoa học và công nghệ.

Steven Strogatz/NXB Trẻ