Phương pháp hay chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Thầy Hoàng Văn Tưởng và học sinh trong giờ Toán

Có quá nhiều dạng, mỗi bài còn có những cách biến đổi khác nhau; đó là chưa kể khi giảng dạy, chính giáo viên cũng không nhớ cách biến đổi, mà có nhớ thì học sinh sẽ tiếp thu một cách thụ động.

Thầy Hoàng Văn Tưởng - giáo viên Trường THPT Kim Sơn A (Ninh Bình) – cho rằng: Một trong những giải pháp cũ để chứng minh bất đẳng thức là dồn về một biến nào đó như t = x + y + z hoặc t = xy + yz + zx hoặc t = x2 + y2 + z2,... Để đạt được điều này thật không đơn giản.

Khi chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, theo phương pháp cũ, học sinh bị thụ động bởi cách giải, những biến đổi quá phức tạp, phải nhớ rất nhiều các bất đẳng thức và áp dụng chúng thật khéo mới có thể làm được bài toán yêu cầu.

5 bước giải

Từ thực trạng trên, thầy Hoàng Văn Tưởng và cô Lê Thị Lan Anh (Trường THPT Kim Sơn A) chia sẻ giải pháp mới đối với dạng toán trên.

Theo hai thầy cô, giáo viên và học sinh trong trường đã gọi phương pháp mới này là “Phương pháp cực trị Hoàng Minh” dựa trên một cơ sở nền tảng là dùng đạo hàm và phương pháp được phát biểu, trình bày khá đơn giản như sau:

Khi chứng minh bất đẳng thức ta thường đưa về một biến theo một biểu thức nào đó, để làm được điều này thì cần có một cái nhìn tổng quát và áp dụng rất nhiều các bất đẳng thức như Cauchy- Schwarz, Bunyakovsky, các bất đẳng thức đặc biệt, các bổ đề... mà các bất đẳng thức này khi chứng minh đến bước cuối đều có dạng (x - y)2 > 0 “dạng đẳng cấp”,

(x - y)2 > 0 cũng được hiểu là nghiệm bội, mà nghiệm bội thì liên quan đến tiếp xúc, tiếp xúc thì liên quan đến đạo hàm qua xâu chuỗi tư duy trên chúng ta có phương pháp mới đưa biểu thức về một biến bằng cách tìm một bổ đề trung gian, cụ thể ta đi tìm một hệ số alpha nào đó cho phù hợp với bất đẳng thức phụ.

Các bước đi tìm bất đẳng thức phụ và tìm hệ số alpha như sau:

Bước 1: Dự đoán biểu thức cần “nguồn” đưa về biểu thức nào “đích” (có dạng đẳng cấp - thuần nhất) Bước 2: Tìm alpha trong bất đẳng thức “nguồn” lớn hơn hoặc bằngm hoặc nhỏ hơn hoặc bằng “alpha .đích”, căn cứ vào biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất, trên tử hay dưới mẫu, trước có dấu “+” hay “-“.

Bước 3: Vì biểu thức có dạng đẳng cấp thuần nhất lên ta thường cho a+b + c = 1 “chuẩn hóa” hoặc đặt x = ac, y = bc, rút thế vào biểu thức cho giảm biến.

Bước 4: Tính đạo hàm biểu thức vừa tìm được rồi cho bằng không, suy ra giá trị của biến số, thay ngược lại ta được alpha.

Bước 5: Chứng minh bổ đề vừa tìm được, áp dụng vào bài toán.

Ưu điểm của giải pháp cải tiến

Thầy Hoàng Văn Tưởng cho rằng, trong thời lượng phân phối của bộ môn không đủ thời gian để giáo viên trang bị cho học sinh tất cả các cách giải chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số. Phương pháp mới trên khắc phục được tình trạng này.

Đối với học sinh, phương pháp này giúp tiết kiệm thời gian học tập; tỉ lệ học sinh hiểu bài nhiều; phân hóa học sinh rất tốt: học sinh khá - giỏi có thể đạt điểm tối đa. Học sinh chủ động hướng tới lời giải.

Đối với giáo viên: Nội dung phương pháp mới là một chuyên đề, một tài liệu giảng dạy chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.

Ví dụ 1:

Phương pháp này đã biết trước được kết quả để từ đó dễ dàng chứng minh được bổ đề mà ta cần dù là học sinh khá, nó không như phương pháp cũ kể cả học sinh giỏi cũng bị động vì không biết được điểm rơi do đó rất dễ dẫn đến sai lầm.

Ví dụ 2: