Bài toán hình khối (Kỳ 9)

Bài toán 20. Có 3 khối lập phương đơn vị cùng màu. Ta có thể gắn các khối lập phương lại để tạo ra một khối mới, bằng cách dán trùng khít hai mặt của hai hình lập phương. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu hình khối khác nhau?

Ghi chú. Hai hình khối được gọi là giống nhau nếu được nhìn từ các hướng khác nhau của cùng một khối. Có 6 hướng để nhìn một hình khối là trên, dưới, trước, sau, phải và trái.

Giải. Có hai hình khối là dạng chữ I (3 khối xếp liên tiếp chồng lên nhau) hoặc chữ L.

Đáp số. 2 hình khối.

Bài toán 21. Tương tự bài toán 20, biết 3 khối có màu khác nhau.

Giải. Với mỗi dạng chữ I hay chữ L, ta có 3 cách chọn màu của khối lập phương ở giữa của hình khối.

Ta có 3 + 3 = 6.

Đáp số. 6 hình khối.

Nhận xét. Hai bài toán trên là mở đầu. Những bài toán sau đây khó hơn, đòi hỏi tư duy nhiều hơn. Nếu có những khối lập phương để thực hành thì tốt hơn.

Bài toán 22. Tương tự bài toán 20 khi có 4 khối lập phương đơn vị cùng màu.

Giải. TH1. Hình khối có dạng chữ I, khi 4 khối đặt chồng lên nhau.

TH2. 3 khối đặt theo hướng chữ I. Khi đó, khối còn lại dính với khối thứ nhất tạo ra hình chữ L hoặc dính với khối ở giữa tạo ra hình chữ T.

TH3. Chỉ có 2 khối dính nhau theo dạng chữ I. Khi đó, có 4 hình khối khác nhau là: 4 khối ở cùng tầng 1 tạo ra chữ chi (Z) hoặc khối hộp chữ nhật, 3 khối ở tầng 1 tạo ra chữ L, khối còn lại ở tầng 2 gắn với khối lập phương ở giữa hoặc không ở giữa của tầng 1.

Đáp số. 7 cách.

Bài toán 23. Tương tự bài toán 22, khi 4 khối lập phương đơn vị khác màu nhau là xanh, đỏ, vàng và trắng.

Giải. Ta xét các cách đặt màu theo thứ tự 7 hình khối trong lời giải bài toán 22.

(1) Số cách chọn màu của khối lập phương của tầng 1, 2, 3, 4 tương ứng là 4, 3, 2, 1. Vì chữ I có thể quay ngược đầu nên số hình khối là 4 × 3 × 2 × 1 : 2 = 12.

(2) Có 4 × 3 × 2 × 1 = 24 hình khối chữ L.

(3) Tương tự, có 4 × 3 × 2 × 1 : 2 = 12 hình khối chữ T và (4) 12 hình khối chữ chi.

(5) Xét hình hộp chữ nhật. Ban đầu, đặt cố định một khối lập phương. Có 3 cách đặt 2 khối lập phương xung quanh khối ban đầu. Sau đó, đặt khối còn lại vào vị trí khuyết.

(6) Có 4 cách chọn khối lập phương ở giữa. Sau đó, có 1 cách đặt 3 khối lập phương còn lại.

(7) Hình khối này có 12 cách đặt.

Ta có 12 + 24 + 12 + 12 + 3 + 4 + 12 = 79.

Đáp số. 79 cách.

Kết quả kỳ trước. Tương tự bài toán 18, ta có số viết ở tầng trên cùng là a × c × h × k × b × b × d × d × g × g × i × i × e × e × e × e.

Số này sẽ bé nhất là 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 5 × 4 × 4 × 3 × 3 × 2 × 2 × 1 × 1 × 1 × 1 = 43545600.

Đáp số. 43545600.

Kỳ này. Tương tự bài toán 20, khi có 5 khối lập phương cùng màu. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànôịmới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Hoàng Trọng Hảo