(HNM) - Bài toán 47. Có bao nhiêu cách sơn 6 mặt của một khối lập phương mà bởi 5 màu khác nhau, trong đó màu nào cũng được sử dụng?

Giải. Trong 6 mặt của khối lập phương, sẽ có 2 mặt sơn cùng màu.

Có 5 cách chọn màu sơn cho 2 mặt cùng màu.

TH1. 2 mặt sơn cùng màu là mặt trên và mặt dưới.

Sơn mặt trước bởi 1 trong 4 màu còn lại.

Có 3 cách chọn màu sơn cho mặt sau.

Sau đó, có 1 cách sơn cho 2 mặt còn lại.

Ta có 5 × 3 = 15.

TH2. 2 mặt sơn cùng màu là mặt trên và mặt trước.

Có 6 cách chọn 2 màu sơn từ 4 màu còn lại. Từ đó có 6 cách sơn mặt phải và mặt trái.

Sau đó, có 1 cách sơn 2 mặt còn lại.

Ta có 5 × 6 × 1 = 30.

Tổng số cách sơn là 15 + 30 = 45.

Đáp số. 45 cách sơn.

Bài toán 48. Tương tự bài 47, với 6 màu sơn khác nhau.

Giải. Chọn 1 trong 6 màu sơn mặt dưới.

Có 5 cách chọn màu sơn cho mặt trên.

Chọn 1 trong 4 màu còn lại sơn mặt trước.

Có 3 cách chọn màu cho mặt sau.

Sau đó, có 2 cách sơn cho 2 mặt còn lại.

Tổng số cách sơn là 5 × 3 × 2 = 30.

Đáp số. 30 cách sơn.

Bài toán 49. Có bao nhiêu cách sơn 6 mặt của một khối lập phương mà bởi 7 màu khác nhau, trong đó có ít nhất 5 màu sơn được sử dụng?

Giải. TH1. 6 mặt được sơn bởi 6 màu khác nhau.

Có 7 cách bỏ đi 1 màu.

Khi đó, theo bài toán 48, có 30 cách sơn.

Ta có 7 × 30 = 210.

TH2. 6 mặt được sơn bởi 5 màu khác nhau.

Ta cần bỏ đi 2 màu trong 7 màu để giữ lại 5 màu dùng để sơn.

Có 7 cách chọn màu thứ nhất, 6 cách chọn màu thứ hai.

Vì nhóm 2 màu thứ nhất và thứ 2 được tính gấp đôi, chẳng hạn nhóm hai màu (đỏ, xanh) với (xanh, đỏ) là như nhau.

Số cách chọn màu là 7 × 6 : 2 = 21.

Khi đó, với 5 màu còn lại, theo bài toán 47, có 45 cách sơn.

Ta có 21 × 45 = 945.

Tổng số cách sơn là 210 + 945 = 1.155.

Đáp số. 1.155 cách sơn.

Kết quả kỳ trước. TH1. Sơn 3 mặt của khối lập phương bởi 1 màu, 3 mặt còn lại sơn bởi 3 màu còn lại.

Có 4 cách chọn màu cho 3 mặt sơn cùng màu.

Nếu 3 mặt sơn cùng màu chung đỉnh nhau thì có 1 cách sơn cho 3 mặt còn lại.

Nếu 3 mặt sơn cùng màu là mặt trên, mặt dưới và mặt trước thì có 3 cách chọn màu cho mặt sau và 1 cách sơn cho 2 mặt còn lại.

Ta có 4 × (1 + 3 × 1) = 16.

TH2. 2 màu, mỗi màu sơn cho 1 mặt, 2 màu còn lại, mỗi màu sơn cho 2 mặt.

Có 6 cách chọn 2 màu.

Nếu 2 mặt là mặt trên và mặt dưới thì có 2 cách sơn cho 4 mặt còn lại.

Nếu 2 mặt là mặt trên và mặt trước thì có 3 cách sơn cho 4 mặt còn lại.

Ta có 6 × (2 + 3) = 30.

Tổng số cách sơn là 16 + 30 = 46.

Đáp số. 46 cách sơn.

Kỳ này. Tương tự bài toán 49, thay bởi 8 màu.
Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànôịmới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Hoàng Trọng Hảo