Bài toán 45. Có bao nhiêu cách sơn 6 mặt của một khối lập phương mà chỉ dùng hai màu xanh và đỏ?

Giải:

TH1. 6 mặt sơn cùng màu. Có 2 cách chọn màu.

TH2. Sơn 5 mặt cùng màu, mặt còn lại sơn màu còn lại.
Có 2 cách chọn màu.

TH3. Sơn 4 mặt của khối lập phương bởi cả 1 màu, 2 mặt còn lại sơn màu còn lại.
Có 2 cách chọn màu.
Có 2 cách chọn vị trí cho hai mặt còn lại là hai mặt đó đối diện nhau hoặc chung cạnh.
Ta có 2 × 2 = 4.

TH4. Mỗi màu sơn 3 mặt.
Ta sơn mặt dưới màu xanh.
Có 3 cách chọn 2 vị trí cho 2 mặt màu xanh còn lại là: mặt trên và mặt trước, mặt trước và mặt sau hoặc mặt trước và mặt phải.
Tổng số cách sơn là 2 + 2 + 4 + 3 = 11.

Đáp số. 11 cách sơn.

Bài toán 46. Có bao nhiêu cách sơn 6 mặt của một khối lập phương mà chỉ dùng ba màu xanh, đỏ và vàng, trong đó màu nào cũng được sử dụng?

Giải:

TH1. Sơn 4 mặt của khối lập phương bởi cả 1 màu, 2 mặt còn lại sơn 2 màu còn lại.
Có 3 cách chọn màu sơn 4 mặt.
Có 2 cách chọn vị trí cho hai mặt còn lại là hai mặt đó đối diện nhau hoặc chung cạnh.
Ta có 3 × 2 = 6.

TH2. Trong 3 màu, có 1 màu sơn 1 mặt, 1 màu sơn 2 mặt và 1 màu sơn 3 mặt.
Có 6 cách chọn màu sơn.
Ta chọn vị trí 1 màu sơn là mặt dưới.
Có 3 cách chọn vị trí cho 2 mặt cùng màu sơn là: mặt trên và mặt trước, mặt trước và mặt sau hoặc mặt trước và mặt phải.
Ta có 6 × 3 = 18.

TH3. Mỗi màu được sơn 2 mặt. Ta sơn mặt dưới màu xanh.
Nếu mặt màu xanh thứ hai là mặt trên thì có 2 cách sơn 4 mặt còn lại.
Nếu mặt màu xanh thứ hai là mặt trước thì có 3 cách sơn cho 4 mặt còn lại.
Ta có 2 + 3 = 5.
Tổng số cách sơn là 6 + 18 + 5 = 29.

Đáp số. 29 cách sơn.

Kết quả kỳ trước. Trong 5 mặt, ta chọn mặt dưới không sơn.

TH1. Sơn 5 mặt của khối lập phương bởi 1 màu. Có 3 cách chọn màu.

TH2. Sơn 4 mặt của khối lập phương bởi cả 1 màu, mặt còn lại sơn màu khác.
Có 2 cách chọn vị trí mặt còn lại là mặt trên hoặc 1 trong 4 mặt xung quanh.
Có 6 cách chọn màu sơn.
Ta có 2 × 6 = 12.

TH3. Sơn 3 mặt của khối lập phương bởi cả 1 màu.
Có 3 cách chọn màu sơn cho 3 mặt.
Nếu 3 mặt là những mặt xung quanh thì có 4 cách sơn 2 mặt còn lại bởi 2 màu còn lại.
Nếu 3 mặt là mặt trên và hai mặt trước, sau thì có 3 cách sơn cho 2 mặt còn lại.
Nếu 3 mặt là mặt trên, mặt trước và mặt phải thì có 4 cách sơn cho 2 mặt còn lại.
Ta có 3 × (4 + 3 + 4) = 33.

TH4. Trong 3 màu, có 2 màu được sơn 2 mặt, màu còn lại sơn 1 mặt.
Có 3 cách chọn màu cho 1 mặt.
Nếu 1 mặt đó là mặt trên thì có 2 cách sơn cho 4 mặt còn lại.
Nếu 1 mặt đó là mặt trước thì có 4 cách sơn cho 4 mặt còn lại.
Ta có 3 × (2 + 4) = 18.
Tổng số cách sơn là 3 + 12 + 33 + 18 = 66.

Đáp số. 66 cách sơn.

Kỳ này. Tương tự bài toán 46, thay bởi 4 màu xanh, đỏ, vàng và trắng. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànôịmới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Hoàng Trọng Hảo