Bài toán 44. Có bao nhiêu cách sơn 4 mặt của một khối lập phương mà chỉ dùng ba màu xanh, đỏ và vàng?

Nhận xét. Ta có thể giải bài toán theo cách của bài toán 43. Đó là xét các trường hợp: 4 mặt cùng màu, 3 mặt cùng màu và 1 mặt khác màu, 2 mặt cùng màu thứ nhất và 2 mặt khác cùng màu thứ hai, 4 mặt trong đó có 2 mặt cùng màu và hai mặt còn lại là 2 màu khác. Ngoài ra, ta có cách chọn mặt không sơn để giải như sau.

Giải. TH1. Vị trí 2 mặt không sơn là mặt trên và mặt dưới.

Nếu 4 mặt xung quanh sơn cùng màu thì có 3 cách chọn màu sơn.

Nếu 4 mặt xung quanh được sơn bởi 2 màu thì có 3 cách bỏ đi màu không sơn. Khi đó, với 2 màu sơn, có 4 cách sơn là: 3 mặt sơn 1 trong 2 màu, mặt còn lại sơn màu còn lại; 2 mặt sơn cùng màu cạnh nhau (mặt trước, mặt phải) hoặc đối diện nhau (mặt trước, mặt sau). Ta có 3 × 4 = 12.

Nếu 4 mặt xung quanh được sơn bởi 3 màu thì có 2 mặt được sơn cùng màu. Có 3 cách chọn màu sơn cho 2 mặt cùng màu. Có 2 cách chọn vị trí của 2 mặt cùng màu là cạnh nhau hoặc đối diện nhau. Ta có 3 × 2 = 6.

Tổng số cách sơn trong trường hợp này là 3+12+6 = 21.

TH2. Vị trí 2 mặt không sơn là mặt dưới và mặt sau.

Nếu 4 mặt còn lại sơn cùng màu thì có 3 cách chọn màu sơn.

Nếu 4 mặt còn lại được sơn bởi 2 màu thì có 3 cách bỏ đi màu không sơn. Khi sơn 3 mặt cùng màu và 1 mặt khác màu thì có 2 cách chọn màu sơn và 2 cách chọn vị trí 1 mặt khác màu là mặt trên hoặc mặt phải. Khi sơn 2 mặt màu thứ nhất và 2 mặt còn lại cùng màu thứ 2 thì có 3 sơn là: 2 mặt trên và trước cùng màu hoặc 2 mặt trên và phải cùng màu. Ta có 3 × (2 × 2+3) = 21.

Nếu 4 mặt còn lại được sơn bởi 3 màu thì có 3 cách chọn màu cho 2 mặt sơn cùng màu. Nếu 2 mặt đó là mặt trên và mặt trước hoặc mặt trái và mặt phải thì có 1 cách sơn 2 mặt còn lại. Nếu 2 mặt đó là mặt trên và mặt phải thì có 2 cách sơn 2 mặt còn lại. Ta có 3 × (2 × 1+1 × 2) = 12.

Tổng số cách sơn trong trường hợp này là 3+21+ 12 = 36.

Tổng số cách sơn là 21+ 36 = 57.

Đáp số. 57 cách sơn.

Kết quả kỳ trước. Trong 5 mặt, ta chọn mặt dưới không sơn.

TH1. Sơn 5 mặt của khối lập phương bởi 1 màu. Có 2 cách chọn màu.

TH2. Sơn 4 mặt của khối lập phương bởi cả 1 màu, mặt còn lại sơn màu còn lại.

Có 2 cách chọn vị trí mặt còn lại là mặt trên hoặc 1 trong 4 mặt xung quanh.

Có 2 cách chọn màu sơn cho 4 mặt cùng màu.

Ta có 2 × 2 = 4.

TH3. Sơn 3 mặt của khối lập phương bởi cả 1 màu, 2 mặt còn lại sơn màu còn lại.

Có 3 cách chọn vị trí 2 mặt còn lại là: Mặt trên và 1 trong 4 mặt xung quanh, mặt trước với mặt sau và mặt trước với mặt phải.

Có 2 cách chọn màu sơn cho 3 mặt cùng màu.

Ta có 3 × 2 = 6.

Tổng số cách sơn là 2+ 4+ 6 = 12.

Đáp số. 12 cách sơn.

Kỳ này. Tương tự bài toán 44, thay 4 mặt bởi 5 mặt. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànôịmới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Hoàng Trọng Hảo