Bài toán 39. Các mặt của một kim tự tháp 2 tầng được sơn bởi 4 màu xanh, đỏ vàng hoặc trắng. Hỏi có bao nhiêu cách sơn kim tự tháp?

Giải. Mặt đáy của kim tự tháp có 4 cách chọn màu sơn.

TH1. 4 mặt bên của kim tự tháp được sơn cùng màu. Có 4 cách chọn màu sơn.

TH2. 3 mặt bên của kim tự tháp sơn cùng màu, mặt còn lại sơn màu khác.
Có 4 cách chọn màu sơn cho 3 mặt và 3 cách chọn màu cho mặt còn lại.
Ta có 4 × 3 = 12.

TH3. 2 mặt trước và sau của kim tự tháp được sơn một màu, 2 mặt còn lại được sơn cùng màu khác.
Có 6 cách chọn 2 trong 6 màu sơn.

TH4. 2 mặt trước và sau của kim tự tháp được sơn một màu, 2 mặt còn lại được sơn 2 màu khác.
Có 4 cách chọn màu sơn cho 2 mặt giống nhau.
Sau đó, có 3 cách chọn 2 màu sơn khác nhau trong 3 màu sơn còn lại cho 2 mặt bên còn lại.
Ta có 4 × 3 = 12.

TH5. 4 mặt của kim tự tháp được sơn bởi 4 màu.
Chọn 1 màu và sơn 1 mặt bên.
Có 6 cách sơn 3 mặt bên còn lại bởi 3 màu còn lại.
Tổng số cách sơn kim tự tháp là
4 × (4 + 12 + 6 + 12 + 6) = 160.

Đáp số. 160 cách sơn.

Bài toán 40. Tương tự bài toán 39, với 5 màu sơn là xanh, đỏ, vàng, trắng và đen.
Nhận xét: Ta có thể giải bài toán này bằng cách chia các trường hợp tương tự như cách giải bài toán trên. Lời giải sau dựa trên kết quả của bài toán 39.

Giải.
TH1. Màu đen không được dùng để sơn.
Số cách sơn theo bài toán 39 là 160.

TH2. Màu đen được sơn ở mặt đáy.
Nếu 4 mặt còn lại không có mặt nào sơn màu đen thì tương tự các trường hợp 1, 2, 3, 4 và 5 của bài toán 39, ta có số cách sơn là
4 + 12 + 6 + 12 + 6 = 40.
Nếu màu đen được sơn 1 lần ở mặt trước thì có 4 cách chọn màu sơn cho mỗi mặt bên còn lại. Ta có 4 × 4 × 4 = 64.
Nếu màu đen được sơn bởi 2 mặt bên cạnh nhau thì có 4 × 4 = 16 cách sơn cho 2 mặt còn lại.
Nếu màu đen được sơn bởi 2 mặt trước và sau thì có 10 cách sơn cho 2 mặt trái và phải (4 cách cho 2 mặt đó cùng màu và 6 cách khác màu).
Nếu có 3 mặt bên được sơn màu đen thì có 4 cách sơn cho mặt còn lại.
Nếu cả 4 mặt bên đều sơn màu đen thì có 1 cách sơn.
Ta có 40 + 64 + 16 + 10 + 4 + 1 = 135.

TH3. Màu đen được sơn ở mặt bên và mặt đáy được sơn không phải màu đen.
Có 4 cách sơn mặt đáy.
Số cách sơn các mặt còn lại là
64 + 16 + 10 + 4 + 1 = 95.
Ta có 4 × 95 = 380.
Tổng số cách sơn là 160 + 135 + 380 = 675.
Đáp số. 675 cách sơn.

Kết quả kỳ trước. Có 5 cách chọn màu sơn cho mặt đáy
Sơn 1 màu còn lại cho 1 trong 4 mặt bên.
Sau đó, có 3 cách chọn màu cho mặt bên phải của mặt bên đã sơn.
Có 2 cách chọn màu cho mặt đối diện và 1 cách chọn màu cho mặt bên trái.
Ta có 5 × 3 × 2 = 30.
Đáp số. 30 cách sơn.

Kỳ này. Có bao nhiêu cách sơn 2 mặt của một khối lập phương bởi 2 màu xanh và đỏ? Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànôịmới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Hoàng Trọng Hảo