Bài toán 37.

Các mặt của một kim tự tháp 2 tầng được sơn bởi 3 màu xanh, đỏ hoặc vàng. Hỏi có bao nhiêu cách sơn kim tự tháp?
Giải. Mặt đáy của kim tự tháp có 3 cách chọn màu sơn.
TH1. 4 mặt của kim tự tháp được sơn cùng màu. Có 3 cách chọn màu sơn.
TH2. 3 mặt của kim tự tháp
sơn cùng màu, mặt còn lại sơn màu khác.
Có 3 cách chọn màu sơn cho 3 mặt và 2 cách chọn màu cho mặt còn lại.
Ta có 3 × 2 = 6.
TH3. 2 mặt của kim tự tháp được sơn một màu, 2 mặt còn lại được sơn cùng màu khác.
Có 3 cách chọn 2 màu sơn (không dùng màu sơn còn lại).
Có 2 cách chọn vị trí của 2 mặt sơn cùng màu.
Ta có 3 × 2 = 6.
TH4. 2 mặt của kim tự tháp sơn cùng màu, 2 mặt còn lại sơn bởi 2 màu khác nhau còn lại.
Có 3 cách chọn màu sơn cho 2 mặt sơn cùng màu.
Nếu 2 mặt đó đối diện nhau thì có 1 cách sơn cho 2 mặt còn lại.
Nếu 2 mặt đó cạnh nhau thì có 2 cách sơn cho 2 mặt còn lại.
Ta có 3 × (2 + 1) = 9.
Tổng số cách sơn kim tự tháp là
3 × (3+ 6+ 6+ 9) = 72.
Đáp số. 72 cách sơn.

Bài toán 38. Tương tự bài toán 37, với 4 màu sơn là xanh, đỏ, vàng và trắng, sao cho màu nào cũng được sử dụng.
Giải. Có 4 cách chọn màu sơn cho mặt đáy.
TH1. 4 mặt xung quanh được sơn bởi 4 màu khác nhau.
Chọn 1 mặt bất kỳ rồi sơn 1 màu bất kì. Có 3 cách chọn màu sơn của mặt đối diện của nó. Sau đó, có 2 cách sơn cho 2 mặt còn lại.
Ta có 3 × 2 = 6.
TH2. Sơn 4 mặt xung quanh bởi đúng 3 màu.
Tương tự TH4 bài 37, ta có 9 cách sơn.
Tổng số cách sơn kim tự tháp là 4 × (6 + 9) = 60.
Đáp số. 60 cách sơn.

Bài toán 39. Tương tự bài toán 37, sử dụng 5 màu sơn là xanh, đỏ, vàng, trắng và đen sao cho hai mặt của kim tự tháp có chung cạnh thì khác màu nhau.
Giải. Có 5 cách chọn màu sơn cho mặt đáy.
TH1. 4 mặt xung quanh được sơn bởi 4 màu khác nhau còn lại (khác với màu sơn của đáy).
Tương tự TH1 bài 38, ta có 6 cách sơn.
TH2. Sơn 4 mặt xung quanh bởi đúng 3 màu trong 4 màu còn lại.
Có 4 cách chọn 3 màu.
Có 3 cách chọn màu để sơn 2 mặt đối diện cùng màu.
Có 1 cách sơn 2 mặt còn lại.
Ta có 4 × 3 × 1 = 12.
Tổng số cách sơn kim tự tháp là 5 × (6+ 12) = 90.
Đáp số. 90 cách sơn.
Kết quả kỳ trước. Mặt dưới của kim tự tháp có 2 cách sơn (màu xanh hoặc đỏ).
Ta xét các khả năng sơn 4 mặt bên của kim tự tháp.
TH1. Cả 4 mặt sơn cùng màu. Có 2 cách chọn màu để sơn.
TH2. Có 3 mặt sơn cùng màu và mặt còn lại sơn khác màu. Có 2 cách chọn màu cho 3 mặt.
TH3. Có 2 mặt sơn màu xanh, 2 mặt sơn màu đỏ. Có 2 cách chọn vị trí cho 2 mặt màu xanh là cạnh nhau hoặc đối diện nhau (mặt trước - mặt sau hoặc mặt trái - mặt phải).
Ta có 2 × (2 + 2 +2) = 12.
Đáp số. 12 cách sơn.

Kỳ này. Tương tự bài toán 38, với 5 màu sơn khác nhau và đều được sử dụng. Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànôịmới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Hoàng Trọng Hảo