Bài toán 35. Ban đầu, các mặt của 10 khối lập phương đơn vị đều có màu trắng. Sau khi ghép các khối thành một kim tự tháp, người ta sơn các mặt bởi màu đỏ. Sau đó lại tháo rời thành các khối lập phương.

a) Hỏi có tổng số bao nhiêu hình vuông đơn vị được sơn màu đỏ?
b) Hỏi có bao nhiêu khối lập phương có 1, 2, 3, 4, 5 mặt được sơn màu đỏ?

Giải. a) Nhìn theo 2 mặt là trên và dưới, ta đều thấy có 9 hình vuông được sơn màu đỏ.
Nhìn theo 4 mặt là trước, sau, trái và phải, ta đều thấy có 4 hình vuông đơn vị được sơn màu đỏ.
Ta có 2 × 9 + 4 × 4 = 34.
b) Khối ở giữa của tầng 1 có 1 mặt được sơn màu đỏ.
Khối ở góc của tầng 1 có 4 mặt được sơn màu đỏ.
Khối ở giữa cạnh của tầng 1 có 2 mặt.
Khối ở tầng 2 có 5 mặt.
Đáp số. a) 34 hình vuông; b) 1 khối; Không có khối nào; 4 khối; 4 khối; 1 khối.

Bài toán 36. Tương tự bài toán 35, người ta sơn mặt trước, mặt sau của kim tự tháp bởi màu xanh; sơn mặt trái, mặt phải màu đỏ và mặt trên, mặt dưới bởi màu vàng. Hỏi có bao nhiêu khối lập phương được sơn bởi 2, 3 màu mới trong các màu xanh, đỏ và vàng?

Giải. Khối ở góc của tầng 1 có 4 mặt được sơn bởi 3 màu mới.
Khối ở giữa cạnh của tầng 1 có 3 mặt được sơn 2 màu mới, gồm màu vàng và 1 trong 2 màu xanh, đỏ.
Khối ở tầng 2 có 5 mặt được sơn màu 3 mới.
Đáp số. 4 khối sơn 2 màu; 5 khối sơn 3 màu.
Kết quả kỳ trước. a) Ta tìm số cách đặt 1 khối màu xanh và 1 khối màu. Những vị trí còn lại là màu vàng.
TH1. Có 1 khối ở tầng 2.
Có 2 cách chọn màu của khối ở tầng 2.
Có 3 cách đặt khối màu còn lại (ở góc, ở tâm hoặc ở giữa một cạnh của hình vuông cạnh 3 ở tầng 1).
Ta có 2 × 3 = 6.
TH2. Cả 2 khối đều ở góc của hình vuông cạnh 3 ở tầng 1 (gọi là hình vuông lớn).
Nếu 2 khối ở 2 đỉnh chung một cạnh của hình vuông lớn thì có 2 cách đặt.
Nếu 2 khối ở 2 đỉnh thuộc đường chéo của hình vuông lớn thì có 1 cách đặt.
Ta có 2 + 1 = 3.
TH3. Cả 2 khối đều ở giữa một cạnh của hình vuông cạnh lớn.
Tương tự TH2, ta có 3 cách đặt.
TH4. 1 khối ở góc, 1 khối ở giữa của hình vuông lớn.
Có 2 cách chọn màu của khối ở góc.
Có 4 cách chọn vị trí giữa cạnh của khối còn lại.
Ta có 2 × 4 = 8.
TH5. 2 khối cùng ở tầng 1, trong đó 1 khối ở tâm của hình vuông lớn.
Tương tự TH4, số cách chọn là 2 × 2 = 4.
Số kim tự tháp khác màu nhau là 6 + 3 + 3 + 8 + 4 = 24.
b) TH1. 4 hình vuông đều màu vàng. Có 1 hình.
TH2. Có 3 hình vuông màu vàng.
Có 2 cách chọn màu cho vị trí còn lại.
Có 4 cách chọn vị trí cho màu còn lại.
Ta có 2 × 4 = 8.
TH3. Có 2 hình vuông màu vàng.
Tương tự TH2, ta có 4 × 3 = 12.
Số hình khác màu nhau là 1 + 8 + 12 = 21.
Đáp số. a) 24 kim tự tháp; b) 21 hình.
Kỳ này. Mỗi mặt của kim tự tháp của bài toán 35 được sơn bởi màu xanh hoặc đỏ. Hỏi có bao nhiêu cách sơn? Câu trả lời gửi về chuyên mục “Toán học, học mà chơi”, Tòa soạn Báo Hànôịmới, 44 Lê Thái Tổ, Hoàn Kiếm, Hà Nội.

Hoàng Trọng Hảo